Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Лемма: Ребра полного графа на $2^n$ вершинах можно раскрасить в $n$ цветов так, чтобы граф с ребрами любого цвета был двудольным.
Доказательство: Лемма легко доказывается индукцией по $n.$
База: $n=1$ очевидно подходит.
Переход: Разобьем вершины на две группы по $2^{n–1}$ вершине, все ребра между группами покрасим в цвет $n$, граф из ребер этого цвета будет очевидно двудольным. Теперь для каждой из половинок покрасим ребра в цвета $1,2,\ldots, n–1$ (это можно по индукционному предположению). Графы этих цветов также будут двудольными, так как состоят из двух несвязанных двудольных частей каждый. $\quad\square$
Теперь перейдем к решению задачи. Легко покрасить вершины искомого графа $G$ степени не более $2018$ правильным образом в $2^{11}$ цветов (даже в $2019$). Теперь, рассмотрим раскраску в $11$ цветов ребер полного графа на $2^{11}$ вершинах (вершины которого занумерованы цветами вершин графа $G$), в которой граф каждого цвета двудолен. Покрасим все ребра графа $G$ между вершинами цветов $i$ и $j$ также, как и ребро между вершинами $i$ и $j$ в раскраске полного графа. Очевидно, нечетных циклов в графе ребер любого цвета не будет.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.