Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

В треугольнике $ABC$ вневписанные окружности касаются сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_1,$ $A_1,$ $B_1$ соответственно. Точка $A'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $BB_1$ и $CC_1$. Точка $B'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $CC_1.$ Точка $C'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $BB_1.$ Точки $A',$ $B',$ $C'$ лежат внутри треугольника $ABC.$ Докажите, что прямые $AA',$ $BB',$ $CC'$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Определим расположение точки $C_{1}$, пусть $I$ инцентр данного треугольника, опустим перпендикуляры $ID,IF$ где $D \in AB, \ F \in AC$, пусть $M$ середина $AB$. Тогда точка $C_{1}$ симметрична $D$ относительно $M$ (по свойству вневписанной и вписанной окружностей $AD=BC_{1}=AF=B_{1}C$) таким же образом и с точкой $B_{1}$. Пусть $A'K \ ,A'X$ серединные перпендикуляры, из условия следует что $\Delta BA'B_{1}, \ \Delta CA'C_{1}$ равнобедренные, опустим перпендикуляр $A'J$ и выберем на прямой $AC$ такую точку $B_{1}'$ что $B_{1}'J=B_{1}J$ тогда $A'B_{1}=A'B_{1}'=A'B$. Заметим что $\Delta A'C_{1}B=A'B_{1}C$ по трем сторонам, опишем окружность с центрам в точке $A'$ и радиусам $A'B$ пусть окружность пересекает $AB$ в точке $H$, получаем, что $\Delta A'C_{1}H = \Delta A'CB_{1}$ по двум сторонам и углу, откуда $B_{1}'C=C_{1}H$, откуда $AB=AB_{1}'$, значит $A'$ лежит на биссектрисе угла $BAC$. Аналогично $B',C'$ лежат на биссектрисе углов $ABC$ и $ACB$ соответственно, следовательно пересекаться в одной точке.

1-лемма. $\triangle AC_1B'=\triangle A_1CB'$.

Д-во: По условию, $B', C'$ лежат серединном перпендикуляре к $AA_1$, $A', B'$ лежат на серединном перпендикуляре к $CC_1$, следовательно, $B'C=B'C_1, AB'=A_1B'$, а также, $AC_1=A_1C$, по свойству вневписанных окружностей треугольника. Тогда, $\triangle AC_1B'=\triangle A_1CB'$, по трем сторонам.

2-лемма. $B'$ равноудален от $AB$ и $BC$.

Д-во: Проведем перпендикуляры $B'K, B'L$ на стороны $AB$ и $BC$ соответственно (перпендикуляры будут падать именно на стороны, т.к. $B'$ лежит внутри $\triangle ABC$). Тогда по лемме-1, $B'A=B'A_1, \angle B'AC_1=\angle B'A_1C \Rightarrow B'A=B'A_1, \angle B'AK= \angle B'A_1L \Rightarrow \triangle B'KA=\triangle B'LA_1$ (по гипотенузе и острому углу) $\Rightarrow B'K=B'L$.

По лемме-2, получаем, что $BB'$ - биссектриса угла при вершине $B$ треугольника $ABC$. Аналогично, $AA'$ - биссектриса угла при вершине $A$, $CC'$ - биссектриса угла при вершине $C$, из чего следует конкуррентность $AA', BB', CC'$.