Западно-Китайская математическая олимпиада, 2010 год

Дано целое $k > 1$. Определим последовательность $\{a_n\}$ следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, и $a_{n+1} = ka_n + a_{n-1}$ при $n = 1,2, \ldots $. При каких значениях $k$ существуют неотрицательные целые $l,m (l \not= m)$ и натуральные $p,q$ такие, что $a_l + ka_p = a_m + ka_q$.