Западно-Китайская математическая олимпиада, 2010 год

$m$ и $k$ — неотрицательные целые, а $p = 2^{2^m}+1$ — простое. Докажите, что
(a) $2^{2^{m+1}p^k} \equiv \pmod {p^{k+1}}$;
(b) $2^{m+1}p^k$ является наименьшим натуральным $n$, удовлетворяющим сравнению $2^n \equiv 1 \pmod {p^{k+1}}$.

Комментарий/решение

Из теоремы $LTE$ получаем, что

$$v_p\bigg(\big(2^{2^{m+1}}\big)^{p^k}-1\bigg)=v_p\big(2^{2^{m+1}}-1\big)+v_p(p^k)=v_p\big(p(p-2)\big)+k=k+1\implies (a).$$

Пусть $d=ord_{p}(2)-$показатель числа $2$ по модулю $p.$ Тогда $d\mid 2^{m+1},$ но если $d\le 2^m,$ то $p\mid 2^{2^m}-1\implies p\mid p-2,$ что невозможно. Значит $d=2^{m+1},$ откуда очевидно, что $v_p(2^d-1)=1.$

Пусть $d_1=ord_{p^{k+1}}(2)\implies 2^{m+1}= d\mid d_1,$ тогда

$$k+1\le v_p(2^{d_1}-1)=v_p(2^d-1)+v_p\bigg(\dfrac{d_1}{d}\bigg)=1+v_p(d_1),$$

следовательно $p^k\mid d_1\implies 2^{m+1}p^k\mid d_1,$ но из пункта $(a)$ ясно, что $d_1\mid 2^{m+1}p^k,$ значит $$d_1=2^{m+1}p^k\implies (b).\quad\blacksquare$$