Западно-Китайская математическая олимпиада, 2005 год

Известно, что выражение $a^{2005} + b^{2005}$ можно представить в виде многочлена от $a + b$ и $ab$. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.

Комментарий/решение

Из условия следует существование$$P(a+b,\sqrt{ab})=a^{2005}+b^{2005}=\sum c_i(a+b)^i\sqrt{ab}^{2005-i}$$однородный многочлен степени 2005. Возьмём $a=1,b=\omega\in \mathbb{C}$, где $\omega^2+\omega+1=0$. Тогда$$(a+b)^2=ab=\omega$$$$P(a+b,\sqrt{ab})=\sqrt{\omega^{2005}}\sum c_i=1+\omega^{2005}$$$$\sum c_i=\sqrt\omega+\sqrt\omega^{-1}=\omega^{-1}+\omega=-1$$Легко понять, что эта сумма является искомой