Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 8 класс

Для чисел $x,y,z$ верно равенство $\left( x+y+z \right)\left( xy+yz+zx \right)=xyz$. Найдите значение выражения $\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 0.
Раскрыв скобки в условии задачи, получим ряд эквивалентных равенств $${{x}^{2}}y+{{y}^{2}}x+{{x}^{2}}z+{{z}^{2}}x+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}y+3xyz=xyz;$$ $${{x}^{2}}y+{{y}^{2}}x+{{x}^{2}}z+{{z}^{2}}x+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}y+2xyz=0;$$ $$\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)=0.$$

$$(x+y)(y+z)(z+x)=((x+y+z)-x)((x+y+z)-y)((x+y+z)-z)=(x+y+z)^3-(x+y+z)(x+y+z)^2+(xy+xz+yz)(x+y+z)-xyz=xyz-xyz=0$$

Ответ:0