Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 52-ші халықаралық олимпиада, 2011 жыл, Амстердам


Сырттай сызылған шеңбері Γ болатын сүйірбұрышты ABC үшбұрышы берілген. түзуі Γ-ны жанайды, ал a, b және c түзулері түзуіне сәйкесінше BC, CA және AB түзулеріне қарағанда симметриялы екені белгілі. a, b және c түзулері анықтайтын үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің Γ шеңберін жанайтынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   11
2 года 9 месяца назад #

Нетрудно свести задачу к такой: Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором внутренние биссектрисы углов A и B пересекаются в точке Iab. Точки Ibc, Icd, Ida определяются аналогично, тогда очевидно, что полученный четырехугольник вписанный. Пусть ABCD=E (E может быть и бесконечно удаленной) и ADBC=F. Нам нужно доказать, что если его описанная окружность касается прямой AB, то она касается описанной окружности (FCD). Рассмотрим инверсию с центром в точке Микеля четырехугольника ABCD - M, радиусом MEMF=MAMC=MDMB и отражением относительно общей биссектрисы углов EMF,BMD,AMC. Штрих означает образ инверсии, тогда BIadC=MIadCMIadB=MAIadMDIad=AED+AIadD=BIbcC, где равенства следуют из подобий ΔMIadDΔMBIad и ΔMIadAΔMCIad (которые выходят из равенств произведений при инверсии и равенств углов при отражении), тогда Iad лежит на окружности (BIbcC), аналогично можно показать, что Iad лежит на (FIcdC), тогда Iad это точка Микеля четырехугольника FIcdIbcB, значит лежит на (IadIcdIbcIab), то есть эта окружность переходит сама в себя при такой инверсии, а прямая AB, как раз, переходит в (FCD), откуда и следует утверждение