Математикадан 52-ші халықаралық олимпиада, 2011 жыл, Амстердам
Комментарий/решение:
Нетрудно свести задачу к такой: Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором внутренние биссектрисы углов A и B пересекаются в точке Iab. Точки Ibc, Icd, Ida определяются аналогично, тогда очевидно, что полученный четырехугольник вписанный. Пусть AB∩CD=E (E может быть и бесконечно удаленной) и AD∩BC=F. Нам нужно доказать, что если его описанная окружность касается прямой AB, то она касается описанной окружности (FCD). Рассмотрим инверсию с центром в точке Микеля четырехугольника ABCD - M, радиусом √ME∗MF=√MA∗MC=√MD∗MB и отражением относительно общей биссектрисы углов ∠EMF,∠BMD,∠AMC. Штрих означает образ инверсии, тогда ∠BI′adC=∠MI′adC−∠MI′adB=∠MAIad−∠MDIad=∠AED+∠AIadD=∠BIbcC, где равенства следуют из подобий ΔMIadD∼ΔMBI′ad и ΔMIadA∼ΔMCI′ad (которые выходят из равенств произведений при инверсии и равенств углов при отражении), тогда I′ad лежит на окружности (BIbcC), аналогично можно показать, что I′ad лежит на (FIcdC), тогда I′ad это точка Микеля четырехугольника FIcdIbcB, значит лежит на (IadIcdIbcIab), то есть эта окружность переходит сама в себя при такой инверсии, а прямая AB, как раз, переходит в (FCD), откуда и следует утверждение
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.