Математикадан 52-ші халықаралық олимпиада, 2011 жыл, Амстердам
S жиынының бір P нүктесі және осы P нүктесі арқылы өтетін бір ℓ түзуі үшін ℓ түзуінің көмегімен басталған диірмен үрдісінің орындалу барысында S жиынының әрбір нүктесі ақырсыз көп рет центр рөлін атқаратынын дәлелдеңдер.
Комментарий/решение:
сначала вы берете выпуклую оболочку и называете этот многоугольник S1, затем вы берете S1 из S, берете выпуклую оболочку и называете этот многоугольник S2, и продолжаете делать это, пока не получите S1,S2,S3,…,Sn и осталось 0, 1 или 2 очка. Теперь выберем линию l такую, чтобы она содержала точки внутри S1,S2,…,Sn. Теперь мы перемещаем l до тех пор, пока он не встретит одну из точек S, но только одну, если он касается 2 точек в S, мы снова генерируем l под другим углом (у него все равно будут точки внутри многоугольников, в на самом деле он будет содержать сегменты внутри многоугольников) и начните с процесса.
Случай 1: после удаления последней выпуклой оболочки осталось 0 очков:
Sn — многоугольник: легко видеть, что для каждого многоугольника Si линия l всегда будет иметь точки внутри этого многоугольника, потому что единственный способ «выйти» из многоугольника — это встреча двух последовательных точек v1 и v2. многоугольника и выход из многоугольника, но если он касается v1, а затем v2, это означает, что v2 идет первым по часовой стрелке, поэтому линия затем войдет внутрь многоугольника. (Я не очень хорошо объясняю свои решения на английском языке. Если вы чего-то не понимаете, дайте мне знать, и я попытаюсь объяснить это еще раз). Поскольку угол линии будет вращаться вечно по часовой стрелке, то каждая точка в Si будет встречаться линией бесконечно много раз для каждого многоугольника Si, потому что найдется пара точек (v,w) такая, что линия встретится с v и w одновременно бесконечно много раз (после второго раза она встретит их те же движения, что и в первый раз, снова начнутся, приводя к кругу), и в этом цикле каждая точка встретится по крайней мере однажды (это не очень сложно доказать)
Случай 2: после удаления последней выпуклой оболочки осталось 1 или 2 очка:
В этом случае мы используем тот же алгоритм, что и в предыдущем случае, мы забываем об этих 1 или 2 точках и видим, что каждая точка внутри Sn будет встречена хотя бы один раз в процессе. Итак, мы начинаем процесс до тех пор, пока не будет достигнута одна из 1 или 2 точек внутри Sn. Если это всего лишь одна точка, идея та же, потому что линия будет вращаться вечно, и пара точек будет встречена дважды, следовательно, бесконечно много. раз, поэтому каждая точка в каждом многоугольнике будет встречаться бесконечно много раз, и точка внутри тоже. Если внутри есть две точки, то мы должны доказать, что обе точки будут встречены в процессе, но это легко, потому что, поскольку обе точки находятся внутри Sn, а линия в каждый момент имеет отрезок внутри Sn, и линия достигает одной и той же позиции бесконечно много раз, то обе точки будут встречаться бесконечно много раз, потому что между моментами M1 и M2, когда линия имеет одно и то же положение, каждая точка внутри Sn будет встречаться с линией (это легко докажи это, чтобы я не делал этого, пока кто-нибудь не попросит меня об этом).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.