Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

34-я Международная Математическая Oлимпиада
Турция, Стамбул, 1993 год


Для трех точек P, Q, R на плоскости через m(PQR) обозначим наименьшую из длин высот треугольника PQR (если точки P, Q, R лежат на одной прямой, то m(PQR)=0). Пусть на плоскости даны точки A, B, C. Доказать, что для любой точки X этой плоскости m(ABC)m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
3 года 11 месяца назад #

Проведем из точки X прямую l параллельную AC, опустим наименьшую высоту BD треугольника ABC и пусть LlAB и MlBC и пусть ABBCAC

Пусть YBXAC

Если X находится внутри треугольника или на одной из сторон, то есть при движений X по BY выполняется условие BCCX

1) Случай когда все наименьшие высоты проходят из точки X учитывая что наименьшая высота проведена к наибольшей стороне, то BCCXCYXM (1) и ABAXAYLX и пусть эти высоты равны XZ,XH,XE соответственно к AB,BC,AC и BT высота BLM треугольники BLM,ABC подобны значит LMBM и из подобия (BTM,THM), (BLT,LZX)

XH=BTXMBM, XZ=BTLXBL и так как XE=DT то неравенство запишется как

XMBM+LXBL1

XMBL+(LMXM)BMBMBL

BMBLLMBLBMXM

что верно так как из (1) тогда BMXM=BCCY1 и BMBLLMBL1 так как LMBM.

2) Когда CX наибольшая сторона в BXC тогда CX>BC>BX но BT<BX<BL<AB и так как CBX наибольший в BXC тогда AXB90 то есть ZX наименьшая высота, пусть BGCX тогда BGBT

тогда неравенство XZ+XE+BGXE+BGXE+BT=BD

3) Аналогично когда AX наибольшая сторона ABX рассматривается как 2)

Если X лежит вне треугольника ABC за сторону BC, положения точек тоже самое.

1.Пусть AB,BC,AC наибольшие стороны в треугольниках ABX,CBX,AXC, при тех же положениях точек с высотами и пусть MQBL тогда BF наименьшая высота в BML. Тогда неравенство

XZ+XH+XEXZ+XEXE+MQXE+BF=BD

2.Пусть AX наибольшая сторона в ABX а остальные как в 1. если BR высота этого треугольника и SBRLX значит BSBF и неравенство

BR+XH+XEBS+XH+XEBF+XH+XEBF+XE=BD

3. Пусть AX наибольшая сторона в ABX так как ABCBAC тогда X располагается в плоскости ограниченной прямыми AC,BC тогда BXBC значит и высота проведенная к BX будет больше BC откуда следует неравенство.

Остальные за сторону AB,AC рассматриваются аналогично.