Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2009 год

В числе 10110011100011110000... девяносто цифр. Верно ли, что это число делится на ${{48}^{2}}$?

Комментарий/решение

$$48^2=2*2*2*2*3*2*2*2*2*3$$

$$1*1+1*2+1*3+...+1*9=45$$

45 делится на 9 без остатков

Осталось доказать что 1011001110001... делится на $2^8$. Для этого достаточно

доказать что число оканчивается на 8 нулей.

$$2*1+2*2+...=90$$

$$2*(1+2+...)=90$$

$$1+2+3+...=45$$ => число оканчивается на 9 нулей.