Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1990 год

Рассмотрим всевозможные треугольники $ABC$, которые имеют фиксированное основание $AB$ и высоту, опущенную из вершины $C$, равной постоянной $h$. Для каких из заданных таким образом треугольников произведение их высот максимально?

Комментарий/решение

Ответ: равнобедренные треугольники

Решение

1) Пусть $AB=c;BC=a;AC=b$. Обозначим высоты: высота , отпущенная с вершины $C$ - $h$ (по условию), высота , отпущенная с вершины $B$ - $h_b$,высота , отпущенная с вершины $A$ - $h_a$

2) Вычислим площадь $S_{\triangle ABC}$ тремя способами

$$S_{\triangle ABC}=\dfrac{c\cdot h}{2}=\dfrac{a\cdot h_a}{2}=\dfrac{b\cdot h_b}{2}$$

3) Из пункта (2) можно выразить произведение всех высот

$$h\cdot h_a \cdot h_b = \dfrac{8\cdot S^3_{\triangle ABC}}{a\cdot b \cdot c}$$

4) Отбросим константы для более удобного исследования функции (3). Во первых, $AB=c$ и $h$ - фиксированные величины (константы). Значит, и площадь треугольника - тоже константа. Введем функцию $f(a,b) = \dfrac{8\cdot S^3_{\triangle ABC}}{a\cdot b \cdot c}$ Если $const_1 = \dfrac{8\cdot S^3_{\triangle ABC}}{c}$, то задача $f(a,b)\rightarrow\max$ эквивалента задаче $g(a,b)=\dfrac{1}{a\cdot b}\rightarrow\max$. Но можно еще упростить, введя функцию $\varphi(a,b)=a\cdot b$. Задача $g(a,b)\rightarrow\max$ эквивалентна задаче $\varphi(a,b)\rightarrow\min$

5) Самое время ввести прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0;0)$ , осью $Ax$ сонаправленной с вектором $\overrightarrow{AB}$, осью $Ay$ направленной в полуплоскость, где лежит вершина $C$. Вычислим координаты: $B(c;0);C(x_c;h)$. С радостью обнаруживаем, что неизвестная только одна - можно использовать стандартное исследование функции с одной переменной.

6) $\varphi(x_c)=\sqrt{x^2_c+h^2}\cdot\sqrt{(c-x_c)^2+h^2}$

$\varphi(x_c)=\sqrt{(x^2_c+h^2)\cdot((c-x_c)^2+h^2)}=\sqrt{\psi(x_c)}$

7) Задача $\varphi(x_c)\rightarrow\min$ эквивалентна задаче $\psi(x_c)\rightarrow\min$. Можно было бы, конечно, дифференцировать (брать производную), и от $\varphi(x_c)$, но проще не брать производную от радикалов сложной функции, а просто взять производную от многочлена.

8) $$\psi(x_c)'_{x_c}=0$$

$$\left[(x^2_c+h^2)\cdot(x^2_c-2x_c\cdot c+c^2+h^2)\right]'_{x_c}=0$$

$$\left[x^4_c-2c\cdot x^3_c+(2h^2+c^2)\cdot x^2_c-2ch^2\cdot x_c + c^2h^2+h^4 \right]'_{x_c}=0$$

$$4\cdot x^3_c - 6c\cdot x^2_c+ (4h^2+2c^2)\cdot x_c -2ch^2 = 0$$

9) Корни уравнения

$$x_c=\dfrac{c}{2};x_c=\dfrac{c}{2}\pm\dfrac{\sqrt{c^2-4h^2}}{2}$$

Минимуму соответствует $x_c=\dfrac{c}{2}$

Точка $C$ равноудалена от вершин $A$ и $B$, значит треугольник равнобедренный