58-я Международная Математическая Oлимпиада
Бразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год


Задача №1.  Для произвольного целого $a_0 > 1$ определим последовательность $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ следующим образом: $${a_{n + 1}} = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a_n}} ,\mbox { если } {\sqrt{a_n}} \mbox { — целое число},\\ {a_n} + 3 \mbox { в противном случае,} \end{array} \right. \mbox { для всех } n \ge 0. $$
Найдите все значения $a_0$, при которых существует число $A$ такое, что $a_n=A$ для бесконечно многих значений $n$.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть $\mathbb{R}$ — множество всех вещественных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для всех вещественных $x$ и $y$ выполнено равенство $f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$
комментарий/решение
Задача №3.  Охотник и невидимый кролик играют в следующую игру на плоскости. Стартовая точка $A_0$ кролика и стартовая точка $B_0$ охотника совпадают. Пусть после $n-1$ раунда игры кролик находится в точке $A_{n-1}$, а охотник — в точке $B_{n-1}$. Тогда в $n$-ом раунде игры последовательно выполняются следующие три действия:
(i) Кролик, оставаясь невидимым, перемещается в точку $A_n$ такую, что расстояние между $A_{n-1}$ и $A_n$ в точности равно 1.
(ii) Следящее устройство сообщает охотнику некоторую точку $P_n$. При этом следящее устройство гарантирует только то, что расстояние между точками $P_n$ и $A_n$ не больше 1.
(iii) Охотник, оставаясь видимым, перемещается в точку $B_n$ такую, что расстояние между $B_{n-1}$ и $B_n$ в точности равно 1.
Всегда ли возможно охотнику, при любых перемещениях кролика и любых сообщаемых следящим устройством точках, выбирать свои перемещения так, чтобы после $10^9$ раундов он мог гарантировать, что расстояние между ним и кроликом не больше 100?
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $R$ и $S$ — две различные точки на окружности $\Omega$ такие, что $RS$ не является диаметром. Пусть $\ell$ — касательная к $\Omega$ в точке $R$. Точка $T$ выбрана так, что $S$ является серединой отрезка $RT$. Точка $J$ выбрана на меньшей дуге $RS$ окружности $\Omega$ так, что окружность $\Gamma$, описанная около треугольника $JST$, пересекает $\ell$ в двух различных точках. Пусть $A$ — та из общих точек $\Gamma$ и $\ell$, которая находится ближе к точке $R$. Прямая $AJ$ вторично Пересекает $\Omega$ в точке $K$. Докажите, что прямая $KT$ касается $\Gamma$.
комментарий/решение
Задача №5.  Дано целое число $N \ge 2$. Команда, состоящая из ${N(N + 1)}$ футболистов, любые два из которых разного роста, построена в ряд. Тренер хочет удалить из ряда ${N(N - 1)}$ игроков так, чтобы для оставшегося ряда из $2N$ игроков выполнялись следующие $N$ условий:
(1) никто не стоит между двумя самыми высокими игроками,
(2) никто не стоит между третьим и четвертым по росту игроками,
$\vdots$
$(N)$ никто не стоит между двумя самыми низкими игроками.
Докажите, что это всегда возможно.
комментарий/решение
Задача №6.  Упорядоченная пара $(x,y)$ целых чисел называется примитивной точкой, если наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$ равен 1. Дано конечное множество $S$ примитивных точек. Докажите, что существуют натуральное $n$ и целые $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_n$ такие, что для каждой примитивной точки $(x,y)$ из $S$ выполнено равенство $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$
комментарий/решение
результаты