58-я Международная Математическая Oлимпиада
Бразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год


Для произвольного целого $a_0 > 1$ определим последовательность $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ следующим образом: $${a_{n + 1}} = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a_n}} ,\mbox { если } {\sqrt{a_n}} \mbox { — целое число},\\ {a_n} + 3 \mbox { в противном случае,} \end{array} \right. \mbox { для всех } n \ge 0. $$
Найдите все значения $a_0$, при которых существует число $A$ такое, что $a_n=A$ для бесконечно многих значений $n$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
2020-11-27 18:43:59.0 #

"Краткие идеи для решения"

Если $3\mid a_0,$ то докажите, что $a_i\le (3t)^2,\forall i\in\mathbb N,$ где $t\in\mathbb N,a_0\le {(3t)}^.2$ $\quad (t$ константа)

Если $2\equiv a_i\pmod 3,$ для некоторого $i\in\mathbb N_0,$ то ни один член последовательности не является целым квадратом, поскольку $x^2\equiv \{0,1\} \pmod 3.$

Если $1\equiv a_i\pmod 3,$ для всех $i\in\mathbb N_0,$ то для каждого $j\in\mathbb N_0,$ существует $k_j\in\mathbb N_0,$ что $$a_j> a_{k_j}\quad \text{и}\quad k_j> j.$$ Тогда для некоторого $\ell\in\mathbb N_0,a_{\ell}=1,$ но тогда $a_i\ge a_{\ell}=1,$ что противоречит свойству доказанному ранее.

Свойство легко доказать, если ограничить $s^2 < a_j\le (s+1)^2,s\in\mathbb{N_0},$ а далее рассмотрев случаи $s\equiv \{0,1,2\}\pmod 3.$