13-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2017 год


Задача №1.  Неравнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega $. Пусть $H$ — точка пересечения высот этого треугольника, а $M$ — середина стороны $AB$. На дуге $AB$ окружности $\omega $, не содержащей точку $C$, взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle ACP=\angle BCQ<\angle ACQ$. Пусть $R$ и $S$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $H$ на прямые $CQ$ и $CP$ соответственно. Докажите, что точки $P$, $Q$, $R$ и $S$ лежат на одной окружности, а точка $M$ является центром этой окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что $(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ для любых вещественных $x$ и $y$. ( И. Воронович )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Прямоугольник на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 разбит на фигурки домино (прямоугольники, состоящие из двух клеток с общей стороной). Докажите, что все вершины клеток на границе и внутри прямоугольника можно раскрасить в три цвета так, чтобы для каждых двух вершин, находящихся на расстоянии 1, выполнялось следующее условие: эти вершины разного цвета, если соединяющий их отрезок лежит на границе одной из фигурок домино, и одинакового цвета в противном случае. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Первые $k$ членов $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ последовательности $(a_n)$ — различные натуральные числа, а при $n > k$ число $a_n$ — наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы нескольких (возможно, одного) из чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$. Докажите, что $a_n=2a_{n-1}$ при всех достаточно больших $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Для каждого натурального $k$ обозначим через $C(k)$ сумму всех различных простых делителей числа $k$. Например, $C(1)=0$, $C(2)=2$, $C(45)=8$. Найдите все натуральные $n$, для которых $C(2^n+1)=C(n)$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)
Задача №6.  В пространстве даны правильный тетраэдр $ABCD$ и произвольные точки $M$ и $N$. Докажите неравенство $$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$$ (Тетраэдр называется правильным, если все шесть его рёбер равны.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)
результаты