қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $O$ нүктесі $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі болсын. $BAC$ бұрышының биссектрисасы осы шеңберді $D$ нүктесінде, ал $ABC$ бұрышының биссектрисасы осы шеңберді $E$ нүктесінде қияды. $DEO$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетіні белгілі. $ACB$ бұрышының өлшемін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. ${{x}_{1}}=0$ болатын ${{x}_{n}}~\left( n=1,2,\ldots \right)$ тізбегі берілген. Барлық бүтін $n > 1$ үшін келесі теңдік орындалады ${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\left[ \frac{{{n}^{2}}}{4} \right].$ (Мұнда $\left[ a \right]$ дегеніміз $a$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды білдіреді). ${{x}_{n}}$ саны $n$ санына бөлінетіндей барлық $n$ санын табыңыз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Бүкіл $x,y\in \mathbb{R}$ үшін $\left( x-2 \right)f\left( y \right)+f\left( y+2f\left( x \right) \right)=f\left( x+yf\left( x \right) \right)$ қатынасын қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Ғылыми конференцияға 2017 ғалым келді. Осы ғалымдардың әрқайсысы үш ғалымнан артық танымайды және таныстық өзара ($A$ $B$-ны таныса, $B$ $A$-ны таниды). Бұл конференцияда ғалымдар өздері танымайтын ғалымдардың баяндамасын тыңдағысы келеді. Әр бөлікте бір-бірін танымайтын және ғалым саны 1007-ден көп емес болатындай, ғалымдарды 4 бөлікке бөлуге болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\ldots +{{\left( {{x}_{2016}}-{{x}_{2017}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2017}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}$ өрнегінің ең кіші мүмкін мәнін табыңыз, мұнда ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$,$\ldots,$ ${{x}_{2017}}$ – әртүрлі бүтін сандар.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ – сырттай сызылған шеңбердің центрі, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ сәйкесінше $AC$ және $AB$ қабырғаларының ортасы. $A$ төбесі мен $O$ нүктесін қамтитын, бірақ ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері арқылы өтпейтін шеңберлердің ішінен $\omega $ шеңберін таңдайық. $\omega $ шеңбері $O{{B}_{1}}$ және $O{{C}_{1}}$ түзулерін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қисын. $K{{B}_{1}}$-дің $L{{C}_{1}}$-ге қатынасы $\omega $ шеңберінің таңдалуына тәуелсіз екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)