Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. $2\sqrt{x}+\sqrt{1-4x}=1$ теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $\left( a, 20 \right)=b$, $\left( b, 15 \right)=c$ және $\left( a, c \right)=5$ қатынастарын қанағаттандыратын барлық натурал $\left( a, b, c \right)$ үштіктерін табыңыз. Мұнда $\left( k, l \right)$ $k$ және $l$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Қабырғасы 1-ге тең $ABCD$ шаршысына сырттай сызылған шеңбердің $BC$ доғасынан $M$ нүктесі алынған. $AM$ және $BD$ кесінділері $P$ нүктесінде, ал $DM$ және $AC$ кесінділері — $Q$ нүктесінде қиылысады. $APQD$ төртбұрышының ауданын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Теріс емес $x, y$ сандары $x+y\le 1$ теңсіздігін қанағаттандырады. $8xy\le 5x\left( 1-x \right)+5y\left( 1-y \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?
комментарий/решение(2)

Есеп №5. $ABCD$ дөңес төртбұрышында $ABC$, $BCD$, $CDA$ және $DAB$ үшбұрыштарының аудандары тең. $ABCD$ — параллелограмм екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Тақтада $11$ және $13$ сандары жазылған. Бір жүрісте қандай да бір тақтада жазылған екі әр түрлі санның қосындысына тең санды жазуға болады. Бірнеше жүрістен кейін тақтада $2015$ санын алуға болама?
комментарий/решение(2)