Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 10 класс

Найдите все тройки натуральных чисел $\left( a,~b,~c \right)$, удовлетворяющие соотношениям $\left( a,~20 \right)=b$, $\left( b,~15 \right)=c$ и $\left( a,~c \right)=5$. Здесь $\left( k,~l \right)$ обозначает наибольший общий делитель чисел $k$ и $l$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Имеется три решения: $\left( a,b,c \right)=\left(5m,5,5 \right)$, $\left(10 n,10,5 \right)$, $\left(20 k,20,5 \right)$, где $m$ и $n$ — любые нечетные натуральные, $k$ — любое натуральное число.
Решение. Из третьего условия следует, что $c$ кратно 5 (это числа 5, 10, 15, $\ldots$), а из второго — $15$ кратно $c$. Следовательно, $c=5$ или $15$. Если $c=15$, то из второго условия следует, что $b$ делится на 15 (это числа 15, 30, 45, $\ldots$). Но в то же время, из первого условия следует, что $20$ делится на $b$, что невозможно. Поэтому единственное возможное значение $c$ это 5. Найдем теперь $b$. Из второго условия следует, что $b$ делится на 5, тогда из первого — $b$ равен одному из чисел $5$, $10$ или $20$ (все они делят $20$). Теперь нетрудно выписать все ответы:
если $b=5$, то $\left( a,b,c \right)=\left(5m,5,5 \right)$;
если $b=10$, то $\left( a,b,c \right)=\left(10 n,10,5 \right)$;
если $b=20$, то $\left( a,b,c \right)=\left(20 k,20,5 \right)$;
где $m$ и $n$ — любые нечетные натуральные, $k$ — любое натуральное число.