15-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Ларнака, Кипр, 2011 год


Задача №1.  Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные действительные числа такие, что $abc=1$. Докажите, что $$\prod (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\ge 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).$$ (Произведение берется по всем переменным.)
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все простые числа $p$ такие, что существуют натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие условию $$x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p.$$
комментарий/решение
Задача №3.  Равносторонний треугольник прямыми, параллельными его сторонам, разбит на $n^2$ ($n \ge 3$ — натуральное число) равных равносторонних треугольников. Пусть $m$ — количество ромбов, образованных двумя меньшими треугольниками, а $d$ — количество ромбов, образованных восемью меньшими треугольниками. Выразите разность $m-d$ через $n$.
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник. На сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $E$ и $F$ таким образом, что $\frac{AB}{AE}=\frac{CD}{DF}=n$. Пусть $S$ — площадь четырехугольника $AEFD$. Докажите, что $$S \le \frac{AB \cdot CD+n(n-1) AD^2+n^2DA \cdot BC}{2n^2}.$$
комментарий/решение
результаты