15-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Ларнака, Кипр, 2011 год


Найдите все простые числа $p$ такие, что существуют натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие условию $$x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p.$$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-08-13 18:16:16.0 #

Ответ:$p=3$

Решение : Преобразуем выражение $$xy^2+yx^2=px+py+5p $$ $$xy (x+y)=p (5+x+y) $$ $p $ делится только на $p $ и $1$ так как по условию $p $- простое. Поэтому рассмотрим 2 случая

Случай 1 $p=x $ или $p=y $ эти случаи аналогичные, рассмотрим только один. $$py (p+y)=p(5+p+y) $$ $$p=\dfrac{5+y-y^2}{y-1} $$ $$p=-y+\dfrac {5}{y-1} $$ Отсюда $y=2$ и $y=6$ отсюда $p=3$

Случай 2. $p=xy $ отсюда $x=1;y=p $; $x=p;y=1$. Подстановкой убеждаемся, что корней нет