қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Диагональдар саны төбелер санына бөлінетін дөңес көпбұрыштың қанша төбесі болуы мүмкін.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Табаны $AD$ болатын $ABCD$ трапециясы берілген. $M$ нүктесі $A$ және $B$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал $N$ нүктесі $C$ және $D$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі. $MN$ кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $\dfrac{mn+1}{m+n}$ түріне келтіруге болатын барлық натурал сандарды тап, мұндағы $m$ және $n$ — натурал сандар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез-келген $a$, $b$, $c$ — теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелде: $ab+bc+ca \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы берілген. $AB=KC$ болытындай $AB$ және $BC$ қабырғаларына сырттай $ABMN$ және $LBCK$ тіктөрбұрыштары сызылған. $AL$, $NK$ және $MC$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. 1-ден 127-ге дейінгі натурал сандарды топтағы сандардың қосындылары өзара тең бірнеше (бірден артық) топқа бөлген. Осындай топтар саны жұп болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)