Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2013 год

Задача №1.  В треугольнике $ABC$, вписанном в окружность с центром $O$, проведены высоты $AD$, $BE$ и $CF$. Докажите, что отрезки $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$ разрезают треугольник $ABC$ на три пары равновеликих треугольников.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все такие натуральные $n$, что число $\dfrac{n^2 + 1}{[\sqrt{n}]^2 + 2}$ — целое. Здесь $[r]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее $r$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Для заданных $2k$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots \,$, $a_k$, $b_1$, $b_2$, $\dots \,$, $b_k$ определим последовательность $X_n$ по формуле $$ X_n = \sum_{i=1}^{k} [a_i n + b_i] \quad (n = 1, 2, \ldots). $$ Докажите, что если $X_n$ образуют арифметическую прогрессию, то число $\sum_{i = 1}^{k} a_i$ — целое. Здесь $[r]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее $r$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа. Конечные множества $A$ и $B$, состоящие из целых чисел, удовлетворяют следующим условиям:
(i) $A$ и $B$ не имеют общих элементов;
(ii) если целое число $i$ лежит в $A$ или в $B$, то либо $i+a$ лежит в $A$, либо $i-b$ лежит в $B$.
Докажите, что $a|A| = b|B|$. Здесь $|X|$ обозначает количество элементов $X$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. На продолжении стороны $AC$ взяли точку $P$ так, что прямые $PB$ и $PD$ касаются $\omega$. Касательная к окружности, проведенная в точке $C$, пересекает прямую $PD$ в точке $Q$, а прямую $AD$ — в точке $R$. Обозначим через $E$ вторую точку пересечения прямой $AQ$ с окружностью $\omega$. Докажите, что точки $B$, $E$, $R$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(2)

---