Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2013 год


Для заданных $2k$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots \,$, $a_k$, $b_1$, $b_2$, $\dots \,$, $b_k$ определим последовательность $X_n$ по формуле $$ X_n = \sum_{i=1}^{k} [a_i n + b_i] \quad (n = 1, 2, \ldots). $$ Докажите, что если $X_n$ образуют арифметическую прогрессию, то число $\sum_{i = 1}^{k} a_i$ — целое. Здесь $[r]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее $r$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение: