Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Егер $x\neq y$, $y\neq z$, $z\neq x$ болатын 1, 2, 3, 4, 5 мәндерін қабылдайтын $x$, $y$ және $z$ сандары үшін $\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{y+\dfrac{1}{z}}},$ өрнегінің ең кіші және ең үлкен мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Тақтаға үш сан жазылған: $4$, $7$, $13$. Тақтадан бір санды өшіріп орнына өшірілген санның екі есесінен басқа сандардың бірін азайтындысын жазуға рұқсат беріледі(мысалға: $(4, 7, 13) \rightarrow (4, 1, 13)$). Бұл операцияны бірнеше рет қайталады. Тақтадағы сандардың бірі келесідей болуы мүмкін бе: а) 2002; б) 2003?
комментарий/решение

Есеп №3. Егер $a+b+c\leq 3$ және $a \geq 0$, $b \geq 0$, $c\geq 0$ болса, теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\leq \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Келесі шарт орындалатындай барлық $f(x)$ функцияларын табыңыздар: $f(x)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)f(1-x)=1,$ кез келген $x\in \mathbb{R}$ үшін.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Параллелепипедтің жазықтықпен қимасы — бесбұрыш, ал сол бесбұрыштың кез келген екі қабырғасының қатынасы не 1-ге, не 2-ге, не 3-ке тең. Бесбұрыштың бұрыштарын табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №6. Кубтың төбелеріне натурал сандарды қабырға арқылы байланысқан әрбір сандар жұбының бірі екіншісіне бөлінетіндей, ал басқа жұптарда бөлінбейтіндей етіп орналастыруға бола ма?
комментарий/решение

Есеп №7. Теңдеудің натурал шешімдерінің санын табыңыздар: $\left [ \dfrac{x}{10}\right]=\left [ \dfrac{x}{11}\right]+1.$
комментарий/решение(1)

Есеп №8. ${f(x+2)}=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ теңдеуін қанағаттандыратын функция периодты екенін дәлелдеңіздер және сол периодын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №9. Өлшемі ${7 \times 7}$ шахмат тақтасының сол төменгі бұрышында король орналасқан. Бір жүрісте не жоғары бір тор, не оңға бір тор, не диагоналмен(оңға, жоғары) жоғарыға бір торға қозғалады. Егер корольдің маршруты бас диагоналдан жоғары бөліктен жүрмесе король оң жоғарғы бұрышына қанша түрлі жолмен бара алады?
комментарий/решение

Есеп №10. Тіктөртбұрыш болмайтын $ABCD$ параллелограмының диагоналдары $O$ нүктесінде қиылысады. $A$ нүктесінен $BC$, $BD$ и $CD$ түзулеріне жүргізілген биіктіктер табандары және $O$ нүктесі не бір шеңбердің бойында не бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)