Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 11 класс

Доказать, что если $a+b+c\leq 3$ и $a \geq 0$, $b \geq 0$, $c\geq 0$, то $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{3}{2}.$

Комментарий/решение

$\dfrac{a}{a+1} \leq \dfrac{a+1}{4}$

$S \leq \dfrac{3+a+b+c}{4}$

$a+b+c \leq 3$

Значит $S \leq \dfrac{3+3}{4}=\dfrac{3}{2}$

$$ a+1=t, b+1=V , c+1=K \Rightarrow \frac{t-1}{t}+\frac{V-1}{V}+\frac{K-1}{K}=3-(\frac{1}{t}+\frac{1}{V}+\frac{1}{K})\leq \frac{3}{2}$$

$$a+b+c\leq 3 \Rightarrow t+V+K\leq 6$$

$$3-\frac{1}{t}+\frac{1}{V}+\frac{1}{K}\geq3-\frac{9}{t+V+K}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

Переносим на левую часть,там и получается что они должны быть отрицательным