қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Назовем четырехзначное число $x$ забавным, если каждую его цифру можно увеличить или уменьшить на 1 (при этом цифру 9 можно только уменьшать, а 0 — только увеличивать) так, чтобы в результате получилось число, делящееся на $x$.
а) Найдите два забавных числа.
б) Найдите три забавных числа.
в) Существует ли четыре забавных числа?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ такова, что угол $ABD$ — прямой и $BC+CD = AD$. Найдите отношение оснований $AD : BC$.
(
Б. Обухов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. На столе лежат 100 одинаковых с виду монет, из которых 85 фальшивых и 15 настоящих. В вашем распоряжении есть чудо-тестер, в который можно положить две монеты и получить один из трех результатов — «обе монеты настоящие», «обе монеты фальшивые» и «монеты разные». Можно ли за 64 таких теста найти все фальшивые монеты?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Собственным делителем числа называется любой его натуральный делитель, кроме 1 и самого числа. С составным натуральным числом $a$ разрешается проделывать следующие операции: разделить на наименьший собственный делитель или прибавить любое натуральное число, делящееся на его наибольший собственный делитель. Если число получилось простым, то с ним ничего нельзя делать. Верно ли, что с помощью таких операций из любого составного числа можно получить число 2011?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)