қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. ${{S}_{n}}$ арқылы $\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}}=1$ теңдігін қанағаттандыратын n натурал санның $({{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\ldots ,\,{{a}_{n}})$ реттелген қатарларының жалпы санын белгілейік. ${{S}_{10}}$ санының жұптығын анықта.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын сәйкесінше $A_1$, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде жанап өтеді. $A_1C_1B_1$ үшбұрышының ортоцентрін $H_1$ деп белгілейік. $ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбер центрін $I$, ал сырттай сызылған шеңбер центрін $O$ деп белгілесек, онда $I$, $O$ және $H_1$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Шахмат турнирінде $n$ адам ойнайды (мұндағы $n > 1$ — натурал сан). Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға $0,\!5$ ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының $75\%$-нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген $a$, $b$, $c$ және $d$ оң нақты сандары үшін
$$\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+cd}+\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}{bc+cd+da}+\dfrac{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{a}^{2}}}{cd+da+ab}+\dfrac{{{d}^{2}}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{da+ab+bc}\ge 4$$
теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. $ABCD$ төртбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $AD$ және $BC$ түзулері $M$ нүктесінде, $AB$ және $CD$ түзулері $N$ нүктесінде, $AC$ және $BD$ түзулері $P$ нүктесінде, ал $OP$ және $MN$ түзулері $K$ нүктесінде қиылыссын. Онда $\angle AKP=\angle PKC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Коэффициенттері бүтін $f(x)$ көпмүшелігі бір натурал $k$ саны үшін $\underbrace{f(f(\dots f(0)\dots))}_{k-\text{ рет}}=0.$ теңдігін қанағаттандыратын болса, $f(0)=0$ немесе $f(f(0))=0$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)