Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год

Задача №1. Найдите все составные натуральные числа $n>1$ со следующим свойством: если через $d_1, d_2, \ldots, d_k$ обозначить все натуральные делители числа $n$, причем $1=d_1 < d_2 < \ldots < d_k=n$, то $d_i$ делит $d_{i+1}+d_{i+2}$ для всех $1 \leqslant i \leqslant k-2$.
комментарий/решение(6)

Задача №2. Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB < AC$. Окружность $\Omega$ описана около треугольника $ABC$. Середину ее дуги $CB$, содержащей точку $A$, обозначим через $S$. Прямая, проходящая через $A$ и перпендикулярная стороне $BC$, пересекает отрезок $BS$ в точке $D$ и пересекает $\Omega$ второй раз в точке $E \neq A$. Прямая, проходящая через $D$ и параллельная стороне $BC$, пересекает прямую $BE$ в точке $L$. Окружность, описанную около треугольника $BDL$, обозначим через $\omega$. Пусть $P \neq B$ — вторая точка пересечения $\omega$ с $\Omega$. Докажите, что касательная к окружности $\omega$ в точке $P$ пересекает прямую $BS$ в точке, лежащей на биссектрисе угла $\angle BAC$.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Дано натуральное число $k \geqslant 2$. Найдите все бесконечные последовательности положительных целых чисел $a_1, a_2, \ldots$ со следующим свойством: существует многочлен $P$ вида $$P(x)=x^k+c_{k-1} x^{k-1}+\cdots+c_1 x+c_0$$ с неотрицательными целыми коэффициентами $c_0, c_1, \ldots, c_{k-1}$ такой, что $$P\left(a_n\right)=a_{n+1} a_{n+2} \cdots a_{n+k}$$ для всех натуральных $n \geq 1$.
комментарий/решение(5)

Задача №4. Даны попарно различные положительные действительные числа $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$ такие, что число $$a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$$ является целым для всех $n=1,2, \ldots, 2023$. Докажите, что $a_{2023} \geqslant 3034$.
комментарий/решение(2)

Задача №5. Пусть $n \geq 1$ натуральное число. Японский треугольник состоит из $1+2+\cdots+n$ одинаковых кругов, выложенных в форме равностороннего треугольника так, что для каждого $i=1,2, \ldots, n$ ряд с номером $i$ состоит ровно из $i$ кругов, в точности один из которых покрашен в красный цвет. Путем ниндзя в японском треугольнике называется последовательность из $n$ кругов, построенная следующим образом: начинаем с круга в ряде 1 в затем поочередно спускаемся вниз, переходя от круга к одному из двух кругов непосредственно под ним, пока не дойдем до ряда $n$. Ниже приведен пример японского треугольника для $n=6$, а также пути ниндзя, содержащего два красных круга. Найдите наибольшее число $k$ (зависящее от $n$) такое, что в любом японском треугольнике существует путь ниндзя, содержащий хотя бы $k$ красных кругов.

комментарий/решение(4)

Задача №6. Дан равносторонний треугольник $ABC$. Внутри $ABC$ выбраны точки $A_1, B_1, C_1$ такие, что $BA_1=A_1C,$ $CB_1=B_1A,$ $AC_1=C_1B$ и $$\angle BA_1 C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^{\circ} .$$ Прямые $B C_1$ и $C B_1$ пересекаются в точке $A_2$, прямые $CA_1$ в $AC_1$ пересекаются в точке $B_2$, прямые $AB_1$ и $B A_1$ пересекаются в точке $C_2$. Предположим, что у треугольника $A_1B_1C_1$ стороны имеют попарно различные длины. Докажите, что тогда все три окружности, описанные около треугольников $A A_1A_2,$ $BB_1B_2$ и $CC_1C_2$, проходят через какие-то две общие точки.
комментарий/решение(5)

результаты