қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ чевианалары үшбұрыштың ішкі $P$ нүктесінде қиылысады. ${{S}_{a}},{{S}_{b}},{{S}_{c}}$ арқылы сәйкесінше $A{{B}_{1}}{{C}_{1}}$, $B{{C}_{1}}{{A}_{1}}$, $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарының аудандарын белгілейік. ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышы-ның ауданы ${{x}^{3}}+\left( {{S}_{a}}+{{S}_{b}}+{{S}_{c}} \right){{x}^{2}}-4{{S}_{a}}{{S}_{b}}{{S}_{c}}=0$ теңдеуінің түбірі болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $\left( {{1}^{4}}+{{1}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+{{2}^{2}}+1 \right)\ldots \left( {{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1 \right)$ өрнегінің мәні ешбір натурал $n$ үшін толық квадрат болмайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңдер: $\sqrt{x}-\dfrac{1}{y}=\sqrt{y}-\dfrac{1}{z}=\sqrt{z}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{4}.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Нақты $c$ параметрінің қандай мәндері үшін $y={{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+9x+4$
қисығын әртүрлі төрт нүктеде қиып өтетін түзу табылады?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $D,E,F$ нүктелері — сәйкесінше $A$, $B$, $C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары, ал $H$ — үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=2$ теңдігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Қорапшада әрқайсысының номиналы дукаттың натурал саны болатын $n$ монета бар, және осы қорапшадағы монеталардың жалпы құны ${2n-1}$ дукат екені белгілі. Олай болса, $1$ мен ${2n-1}$ аралығындағы кез келген бүтін дукаттық соманы осы қорапшадағы монеталардың көмегімен жасауға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)