Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


Задача №1.  Числа $1, 2, \dots , 9$ расставили по кругу в каком-то порядке. Докажите, что найдутся три подряд стоящих числа с суммой не менее 16.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть $x \geq y \geq z>0$. Докажите, что $ (x-y+z) \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Найдите все целые числа, представимые в виде $ a^3+b^3+c^3-3abc$, где $a,b,c$ — натуральные числа.
комментарий/решение
Задача №4.  a) Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, таких, что каждое их числе $n$, $n+1$, $n+2$ представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел.
б) Останется ли верным утверждение, если вместо 3 чисел рассматривать четыре числа $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$?

комментарий/решение(1)
Задача №5.  Сколькими способами множество, содержащее 12 элементов, можно разбить на 6 множеств, каждое из которых содержит по 2 элемента?
комментарий/решение
Задача №6.  Внутри остроугольного треугольника $ABC$ взята точка $P$ так, что $\angle PAC=\angle PBC$. Пусть $L$ и $ N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны $BC$ и $AC$, соответственно, $D$ — середина $AB$. Докажите, что $DL=DN$.
комментарий/решение(1)