Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

Числа $1, 2, \dots , 9$ расставили по кругу в каком-то порядке. Докажите, что найдутся три подряд стоящих числа с суммой не менее 16.

Комментарий/решение

Сумма всех трех подряд идущих чисел , не изменяется от расположения чисел $S=3*(1+2+...+9)=135$.Положим что мы имеем $9$ ящиков в котором $\frac{135}{9}=15$ предметов , так как числа все разные , значит и суммы разные , мы должны переставит из ящиков эти предметы между собой , так что бы в каждых коробках , число предметов отличалось друг от друга. По принципу Дирихле хотя бы в одной коробки будет $\geq 16$

Пусть a1, a2, a3, ... , a9 - уже расположенные числа в каком-то порядке.

n1=a1+a2+a3

n2=a2+a3+a4

...

n8=a8+a9+a1

n9=a9+a1+a2

Сумма всех таких трех идущих подряд чисел S=(1+2+...+9)*3, ведь каждое число встречается по 3 раза.

Если всего таких трех идущих подряд чисел 9, то n1+n2+...+n9=135. Пойдем от обратного. Допустим, n1, n2, ... , n9<16, тогда каждое из них равно 15, ведь понятно, что если есть nk<15, то есть nj>15, а значит выйдет противоречие

Тогда, очевидно, что n1=15=n2, а значит a1+a2+a3=a2+a3+a4, а значит a1=a4. Противоречие, ведь все числа в кругу различные

Кстати, что-то похожее на метод Штурма