Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

Найдите все целые числа, представимые в виде $ a^3+b^3+c^3-3abc$, где $a,b,c$ — натуральные числа.

Комментарий/решение

Решение этой задачи (A1) можете посмотреть здесь:

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Putnam/2019/Putsol2019A.pdf...

$a,b,c \in \mathbb{N}$

По неравенству Коши:

$ \dfrac{ a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^3 \cdot b^3 \cdot c^3}$

Отсюдого: $f(a,b,c)= \sqrt[3]{ a^3 b^3 c^3 } = abc \geq 0$

Здесь мы можем заметить что, если $f(a,b,c)$ будет делиться на 3, то и на 9 тоже будет делима, отсюдого:

$f(a,b,c) = a^3 + b^3 + c^3 = a + b + c (\mod 3)$

$a + b + c = 0 (\mod3)$

Предположим что $ c \geq b \geq a$, тогда: $ c = 3k – b – a$ где $k$ любое натуральное число, подставляем в нвше первое тождество, и получаем:

$ a^3 + b^3 + (3k – b – a)^3 – 3ab(3k – b – a) = 9k( a^2 + ab + b^2 – 3k(a + b) + 3k^2)$

и тут мы видим что оно делиться на 9, отсюдого получаем ответ, что это любые числа, которые кратны 9, но не 3