Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

Найдите все функции $f:\mathbb{R} ^{+} \rightarrow \mathbb{R} ^+$, удовлетворяющие уравнению $f(xf(y))=f(xy)+x$, для всех $x, y \in \mathbb{R} ^+$, где $\mathbb{R} ^+$ обозначает множество положительных действительных чисел.

Комментарий/решение

$Ответ:f(x)=x+1$

Пусть $P(x,y)$ данное равенство. Тогда$P(f(x),y)$:

$f(f(x)f(y))=f(f(x)y)+f(x)=f(xy)+y+f(x)$.

Но $P(f(y),x)$:

$f(f(y)f(x))=f(f(y)x)+f(y)=f(xy)+x+f(y)$. Тогда $f(x)+y=f(y)+x$. Eсли зафиксировать $y$, $f(y)-y=c=const$. Тогда $f(x)-x=c$ или $f(x)=x+c$. При проверке выясняется что $c=1$.