Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

Кез келген $x,y\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ үшін $f\left( xf\left( y \right) \right)=f\left( xy \right)+x$ теңдігін қанағаттандыратын барлық мүмкін $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар. Мұндағы $\mathbb{R}$ — оң нақты сандар жиыны.

Комментарий/решение

$Ответ:f(x)=x+1$

Пусть $P(x,y)$ данное равенство. Тогда$P(f(x),y)$:

$f(f(x)f(y))=f(f(x)y)+f(x)=f(xy)+y+f(x)$.

Но $P(f(y),x)$:

$f(f(y)f(x))=f(f(y)x)+f(y)=f(xy)+x+f(y)$. Тогда $f(x)+y=f(y)+x$. Eсли зафиксировать $y$, $f(y)-y=c=const$. Тогда $f(x)-x=c$ или $f(x)=x+c$. При проверке выясняется что $c=1$.