Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып

а) $n$ , ${n+1}$, ${n+2}$ сандарының әрқайсысы екі бүтін санның квадратта-рының қосындысы болатындай ақырсыз көп $n$ натурал саны табылатынын дәлелдеңдер.
б) Егер үш санның орынына төрт ${n-1}$, $n$, ${n+1}$, ${n+2}$ сандарын алсақ, тұжырымымыз ақиқат болып қала бере ме?

Комментарий/решение

a)

$n=4x^4+4x^2$

б)

Ясно, что среди четырёх последовательных чисел найдётся число $k$ сравнимое с 3 по модулю 4.

Квадраты чисел дают остатки 0 и 1 по модулю 4.

Поэтому их сумма не может быть равна $k$