Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып


Тікбұрышты емес $ABC$ үшбұрышының бұрыштары $\text{tg}A\cdot \text{tg}B\cdot \text{tg}C=\left[ \text{tg}A \right]+\left[ \text{tg}B \right]+\left[ \text{tg}C \right]$ теңдігін қанағаттандыратын болса, осы үшбұрыштың ең кіші бұрышын табыңдар. Мұнда арқылы $x$ санының бүтін бөлігі, яғни $x$-тан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-06-04 01:35:17.0 #

Ответ :$45^\circ$

Решение : Легко видеть, что $1*2*3=[1]+[2]+[3] $ . Отсюда следует, что если найдутся такие углы $A, B, C $, что $A+B+C=180$[1] и $tg A=1;tg B=2;tg C=3$, то условие задачи выполняется и наименьший угол будет равен $arctg 1=45^\circ $. Построим треугольник

Имеем $ tg C=\dfrac {1+\dfrac{1}{2}}{1-1*\dfrac {1}{2}}=3$ . Отсюда следует верность утверждения [1] и правильность решения задачи