Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


Задача №1.  Функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ обозначает множество действительных чисел, удовлетворяет при всех действительных $x$ условию $$ f(f(x))={{x}^{2}}f(x)-x+1. $$ Найдите $f(1)$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На каждой стороне треугольника выбрано по $p - 1$ точек, делящих сторону на $p$ равных частей. Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника. На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками, если известно, что $p$ — простое число?
комментарий/решение
Задача №3.  Полное замощение прямоугольника $2m\times n$ с помощью $mn$ прямоугольных плиток $2\times 1$ называется $\textit{трансверсальным}$, если найдется прямая, делящая прямоугольник на две непустые части и не проходящая через внутренние точки плиток.
а) Докажите, что любое замощение прямоугольника $6\times 6$ с помощью 18 плиток является трансверсальным.
б) Найдется ли не трансверсальное замощение прямоугольника $8\times 8$ с помощью 32 плиток?
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что если многочлен ${a_0}{x^n} + a_1 x^{n- 1} + \dots + {a_n}$ с вещественными коэффициентами разлагается в произведение линейных двучленов с вещественными коэффициентами, то выполняется неравенство $$ (n-1)a_{1}^{2}\ge 2n{{a}_{0}}{{a}_{2}}. $$
комментарий/решение
Задача №5.  В непрямоугольном треугольнике $ABC$ выполняется соотношение $$ {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} A \cdot {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} B \cdot {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} C=[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} A]+[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} B]+[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} C]. $$ Найдите величину наименьшего угла треугольника. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наименьшее целое, не превосходящее $x$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Пусть $n$ — натуральное число, $n < 11$. Простые числа $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p$ таковы, что ${{p}_{1}}+p_{3}^{n}$ — простое, ${{p}_{1}}+{{p}_{2}}=3p$, ${{p}_{2}}+{{p}_{3}}=p_{1}^{n}({{p}_{1}}+{{p}_{3}})$ и ${{p}_{2}}>9$. Найдите значение выражения ${{p}_{1}}({{p}_{2}}p_{3}^{n}+p_{1}^{{{p}_{1}}}+n)$.
комментарий/решение(1)