Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

$*$ — келесі шарттарды қанағаттандыратын нөлдік емес нақты сандарда берілген операция:
1) $a * a = 1$ кез келген $a \neq 0$ үшін;
2) $a * (b * c) = (a * b) \cdot c$ ($a * b$ оң жағынан $c$–ға қарапайым тәсілмен көбейтіледі) кез келген $a\neq 0$, $b\neq 0$, $c\neq 0$ үшін.
$x*36 = 216$ теңдеуін шешіңіздер.

Комментарий/решение

Ответ: $x=7776$.

Пусть $a=b=c$, тогда использовав второе тождество операции "*", имеем

$$a*(a*a)=(a*a)a$$

$$a*1=a$$.

Пусть $b=c$, тогда использовав второе тождество операции "*", имеем

$$a*(b*b)=(a*b)b$$

$$a*1=a=(a*b)b$$

$$\frac{a}{b}=a*b$$, следовательно $x*36=\frac{x}{36}=216$, следовательно $x=7776$.