Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ шаршысына сырттай сызылған шеңбердің $CD$ кіші доғасынан кез келген $M$ нүктесі алынған. $AM$ түзуі $BD$ және $CD$ түзулерін сәйкесінше $P$ және $R$ нүктелерінде қияды. $BM$ түзуі $AC$ және $DC$ түзулерін сәйкесінше $Q$ және $S$ нүктелерінде қияды. $PS$ және $QR$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть BD и АС, PS и QR пересекаются в точке О и N соответственно. Заметим что <AMB=45. Мы знаем что углы BDC и ACD равны 45. Поэтому четырехугольники PSMD и QRMC вписанные. Заметим что углы BMC и AMD равны 45. Так как PSMD и QRMC вписанные поэтому углы PMD и PSD, QMC и QRC равны(<PMD=<PSD и <QMC=<QRC). Мы знаем что <QMC=<PMD=45. Поэтому <PSD=<QRC=45. Так как <PSD=<ОCD=45 и <QRC=<ОDC=45. То есть PS//ОC и QR//ОD. Отсюда выходит что <DOC=<RQC=<RNS. Так как ABCD квадрат, поэтому <DOC=90. То есть <DOC=<RNS=90. Что требовалось доказать.