Областная олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ. Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются». Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись». Сколько троллей сидит за столом?

Комментарий/решение

Посмотрим на расположение существ, если бы два эльфа не ошиблись. Рядом с эльфом обязательно сидел бы троль и эльф, то есть $Т Э Э$. Рядом со вторым эльфом будет сидеть справа троль, так как слева уже сидит эльф , то есть$Т Э Э Т $ .троли всегда лгут ,поэтому справа троля будет сидеть эльф. Получим $Т Э Э Т Э Э......$,то есть отношение эльфов к троллям 2 к 1. Вспомним, что два эльфа ошиблись. Посмотрим на такую цепочку. Должно быть$ Э Э Т Э Э Т Э Э $ , а получилось$Т Э Т Э Э Т Э Т$. В итоге получили на 2 тролля больше, и на 2 эльфа меньше, то есть 38 эльфов и 22 тролля

Неправильное решение ответ 40 на20

Нет

Эльф-39

Тролл-21

Егер барлық тролл өтірік айтатынын есекерсек әр троллдың екі жағында эльфтер отыруы міндетті. Сәйкесінше оларды үш-үштен топтаймыз. Сонда әрбір топта 2 эльф,1 тролл болуы тиіс егер 2 тролл қателескенін ескерсек 1 топшадан басқасында, яғни 19 топшада, 19- тролл, 38- эльф болады. Және 2 эльф қателескенін ескерсек сол топшада екі тролл болады, яғни, ТЭТ болады.

1-ТЭЭ

2-ТЭЭ

3-ТЭЭ

4-ТЭТ жалғыз эльф қателесті

....

19-ЭТЭ

20-ЭТЭ соңғы эльф қателесті.

Сонда, Тролл-21

Эльф-39