Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Докажите, что для любых натуральных чисел $a$, $b$, $c$ хотя бы одно из чисел $a^3b+1$, $b^3c+1$, $c^3a+1$ не делится на $a^2+b^2+c^2$.
(
Сатылханов К.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: пусть все 3 делимости выполняются
Известно что:
1)$abc(a^2+b^2+c^2)$ делится на $a^2+b^2+c^2$
Тогда:
$(a^3*b+1)*c+(b^3*c+1)*a+(c^3*a+1)*b$ делится на $a^2+b^2+c^2$
Значит:
$(a^3*b+1)*c+(b^3*c+1)*a+(c^3*a+1)*b=a^3*bc+b^3*ac+c^3*ab+a+b+c=abc(a^2+b^2+c^2)+a+b+c$
Значит из 1) - $a+b+c$ делится на $a^2+b^2+c^2$
Очевидно что $a\leq a^2$ и тд. Но тогда так как мы решаем в натуральных числах, то:
$a+b+c\geq a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$.
Откуда выходит равенство, причем оно достигается только при:
$a=b=c=1$
Из этого тоже легко получить противоречие:
$a^3*b+1=2$ не делится на $a^2+b^2+c^2=3$. Доказано
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.