Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

Вася $N$ натурал санын айтты. Сосын Петя $N$ санының цифрларының қосындысын, сосын $N + 7 N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 2\cdot7 N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 3\cdot 7 N$ санының цифрлар қосындысын және т.с.с. есептеді. Әрбір есептегендегі саны оған дейінгі есептеген санынан үлкен болуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

$Ответ: нет$

От противного.

$Лемма: S(10^kn)=S(n)$

Доказательство: число $10^kn$,получается с помощью ставление $k$ раз $0$ после числа $n$ в десятичном записе. Но прибавление $0$ сумму не изменяет.

$S(N)<S(N+7N)<...<S(N+7•1456N)<S(N+7•1457N)=S(10000N)=S(N)$, $S(N)<S(N)$. Противоречия.

Простите, я забыл здесь упомянуть что $S(n)$ это сумма цифр числа $n$.