Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс


Задача №1.  Вася взял 11 подряд идущих натуральных чисел и перемножил их. Коля взял эти же 11 чисел и сложил их. Могли ли две последние цифры результата Васи совпасть с последними двумя цифрами результата Коли?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Набор, состоящий из чисел $a$, $b$, $c$, заменили на набор $a^4-2b^2$, $b^4-2c^2$, $c^4-2a^2$. В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа $a$, $b$, $c$, если их сумма равна $-3$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На основании $АС$ треугольника $ABC$ взята точка $D$. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $CBD$, точками касания не могут делить отрезок $BD$ на три равных части.
комментарий/решение
Задача №4.  Решите уравнение $3(p^q+q^p)=n!$, где $p$, $q$ — простые, $n$ — натуральное.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  На плоскости провели 8 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?
комментарий/решение
Задача №6.  Каждая из точек плоскости покрашена в один из трех цветов, причем все три цвета используются. Верно ли, что при любой такой покраске можно выбрать окружность, на которой есть точки всех трех цветов?
комментарий/решение
Задача №7.  У продавца есть стрелочные весы для взвешивания сахара с двумя чашками. Весы могут показывать вес от 0 до 5000 г. При этом сахар можно класть только на левую чашку, а гири можно ставить на любую из двух чашек. Какое наименьшее количество гирь достаточно иметь продавцу, чтобы одним взвешиванием можно было отмерить любое количество сахара от 0 до 25000 г? Ответ объясните.
комментарий/решение
Задача №8.  На сторонах $AC$, $BA$, $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $K$, $L$, $M$ так, что $\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$. Отрезки $AM$ и $CL$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точки $L$, $B$, $M$, $P$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
Задача №9.  Вася назвал натуральное число $N$. После чего Петя нашел сумму цифр числа $N$, потом сумму цифр числа $N + 7 N$, потом сумму цифр числа $N + 2\cdot7 N$, потом сумму цифр числа $N + 3\cdot 7 N$, и т.д. Мог ли он каждый следующий раз получать результат больший предыдущего?
комментарий/решение
Задача №10.  В стране есть несколько городов, соединенных дорогами. Каждая дорога соединяет только 2 города, и на ней введено одностороннее движение; при этом пара городов соединена не более чем одной дорогой. Выехав из любого города, нельзя в него вернуться. Известно, что из города $A$ в город $B$ можно проехать ровно 2006 способами. Найдите минимальное возможное число городов в стране.
комментарий/решение