Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Вася назвал натуральное число $N$. После чего Петя нашел сумму цифр числа $N$, потом сумму цифр числа $N + 7 N$, потом сумму цифр числа $N + 2\cdot7 N$, потом сумму цифр числа $N + 3\cdot 7 N$, и т.д. Мог ли он каждый следующий раз получать результат больший предыдущего?

Комментарий/решение

$Ответ: нет$

От противного.

$Лемма: S(10^kn)=S(n)$

Доказательство: число $10^kn$,получается с помощью ставление $k$ раз $0$ после числа $n$ в десятичном записе. Но прибавление $0$ сумму не изменяет.

$S(N)<S(N+7N)<...<S(N+7•1456N)<S(N+7•1457N)=S(10000N)=S(N)$, $S(N)<S(N)$. Противоречия.

Простите, я забыл здесь упомянуть что $S(n)$ это сумма цифр числа $n$.