Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ $(AB=CD)$ теңбүйірлі трапециясына шеңбер іштей сызылған. $M$ — $CD$ қабырғасының шеңбермен жанасу нүктесі, $K$ — $AM$ кесіндісінің шеңбермен қиылысу нүктесі, $L$ — $BM$ кесіндісінің шеңбермен қиылысу нүктесі болсын. $\dfrac{AM}{AK}+\dfrac{BM}{BL}$ мәнін табыңыздар.

Комментарий/решение

Так как $ AE=ED=DM=x$ и $CM=BF=CF=y$ как касательные , то $x \sqrt{5-4cos \angle ADC} = AM$ и по теореме касательной и секущей $AK \cdot \sqrt{5-4cos \angle ADC} = x$ , откуда $\dfrac{AM}{AK} = 5-4cos \angle ADC$ , так же и с $\dfrac{BM}{BL} = 5+4cos \angle ADC$ , откуда ответ $10$