қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Решите в целых числах уравнение: $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Докажите справедливость тождества $$
\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \frac{{\sin \frac{{nx}}
{2} \cdot \sin \frac{{n + 1}}
{2}x}}
{{\sin \frac{x}
{2}}}, \quad x \ne 2 \pi k, \ k \in \mathbb{Z}.
$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, делит его сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$ с длинами 5 см и 3 см соответственно. Величина, угла $A$ равна $60^\circ $. Найдите длину стороны $BC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В равнобедренную трапецию $ABCD$ $(AB=CD)$ вписана окружность. Пусть $M$ — точка касания окружности со стороной $CD$, $K$ — точка пересечения окружности с отрезком $AM$, $L$ — точка пересечения окружности с отрезком $BM$. Найдите величину $\frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Числа $a, b, c, d$ положительны. Докажите неравенство $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}\geq 4(a-d)$
и выясните, при каких $a$, $b$, $c$, $d$ оно обращается в равенство.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Решить в рациональных числах уравнение: $x^4-4x^3-13x^2+28x+12=0.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)