Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Натурал $n$ санының қандай мәнінде $n\times n$ тақтаның бірнеше клеткаларын келесі шарттар орындалатындай белгілеуге болады: әр бағанда және әр жолда белгіленген клеткалар саны жұп, ал ұзындығы бір клеткадан көп болатын әр $4n-6$ диагональдардың әрқайсысында белгіленген клеткалар саны тақ болады? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. При всех нечётных $n$.
Решение. При нечётном $n$ отметим все клетки верхней и нижней горизонталей, кроме левых угловых. При чётном $n$ будем рассуждать от противного. Раскрасим все клетки в шахматном порядке так, чтобы левый нижний угол был чёрным. Заметим, что среди белых клеток должно быть нечётное число отмеченных, поскольку все они находятся в объединении $n-1$ диагоналей, больших 1 по длине. Но если просуммировать отмеченные клетки во всех вертикалях, начиная со второй слева через одну, а потом добавить к ним сумму всех отмеченных клеток в горизонталях, начиная со второй снизу через одну, то каждую отмеченную белую клетку посчитаем ровно один раз, а каждую отмеченную чёрную — ноль или два раза, т. е. насчитаем нечётное число отмеченных клеток. Но это сумма нескольких чётных чисел. Противоречие.