Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып
Комментарий/решение:
Вот решение для положительных действительных $a, b, c$ . В решении взял знаминателя последнего слогаемого числа $A$ взял как $24a+2b+21$ , потому что не симметрично.
По неравенству Коши-Буняковсково
$47(24a^2+2b^2+21c^2)=(1^2+1^2+...+1^2)(a^2+a^2+...+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+...+c^2)\geq (a+a+...+a+b+b+c+c+...+c)^2=(24a+2b+21c)^2=(24a+2b+21c)(24a+2b+21c)=(24a+2b+21c)(24a^2+2b^2+21c^2)$.
Отсюда получаем
$$24a+2b+21c\leq 47$$
По неравенству $AM\geq GM$
$$A=\sqrt{\frac{a}{b(24+2b+21c)}}+\sqrt{\frac{b}{c(24a+2+21c)}}+\sqrt{\frac{c}{a(24a+2b+21)}}\geq3\cdot\ \sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b(24+2b+21c)}}\cdot \sqrt{\frac{b}{c(24a+2+21c)}}\cdot \sqrt{\frac{c}{a(24a+2b+21)}}}=3\cdot \sqrt[6]{\frac{abc}{abc(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)}}=\frac{3}{\sqrt[6]{(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)}}$$.
Снова по неравенству $AM\geq GM$
$$(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)\leq (\frac{(24+2b+21c)+(24a+2+21c)+(24a+2b+21)}{3})^3=(\frac{2(24a+2b+21c)+47}{3})^3\leq(\frac{2\cdot47+47}{3})^3=47^3$$
Значит,
$$A\geq\frac{3}{\sqrt[6]{(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)}}\geq\frac{3}{\sqrt[6]{47^3}}=\frac{3}{\sqrt{47}}=\frac{3\sqrt{47}}{47}$$.
Равенство достигается, когда $a=b=c=1$ . Значит, $\frac{3}{\sqrt{47}}$ - минимальное значение исходного выражения.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.