Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып


24a2+2b2+21c2=24a+2b+21c болатындай a, b, c оң бүтiн сандар болсын. A=ab(24+2b+21c)+bc(24a+2+21c)+ca(24+2b+21) өрнегiнiң ең кiшi мәнiн табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
4 года 2 месяца назад #

If a;b;c целые и положительные, то

a;b;c=>1

and a^2;b^2;c^2=>a;b;c соответсвенно

то только тогда будет работать когда a=b=c=1

ответ: 3sqrt(1/48)

  4
4 года 2 месяца назад #

Решение полностью верное, единственная неточность 24+2+21=47 и тогда A=31/47

  2
4 года 2 месяца назад #

i’m so stupid, sorry

пред. Правка 2   3
4 года 1 месяца назад #

Скорее всего тут тоже опечатка, должно быть не целые, а действительные

  3
4 года 2 месяца назад #

Вы правы!

Вот только жаль что работники не слушали меня, хотя это было очевидно...

  1
1 года 8 месяца назад #

Вот решение для положительных действительных a,b,c . В решении взял знаминателя последнего слогаемого числа A взял как 24a+2b+21 , потому что не симметрично.

По неравенству Коши-Буняковсково

47(24a2+2b2+21c2)=(12+12+...+12)(a2+a2+...+a2+b2+b2+c2+c2+...+c2)(a+a+...+a+b+b+c+c+...+c)2=(24a+2b+21c)2=(24a+2b+21c)(24a+2b+21c)=(24a+2b+21c)(24a2+2b2+21c2).

Отсюда получаем

24a+2b+21c47

По неравенству AMGM

A=ab(24+2b+21c)+bc(24a+2+21c)+ca(24a+2b+21)3 3ab(24+2b+21c)bc(24a+2+21c)ca(24a+2b+21)=36abcabc(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)=36(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21).

Снова по неравенству AMGM

(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)((24+2b+21c)+(24a+2+21c)+(24a+2b+21)3)3=(2(24a+2b+21c)+473)3(247+473)3=473

Значит,

A36(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)36473=347=34747.

Равенство достигается, когда a=b=c=1 . Значит, 347 - минимальное значение исходного выражения.