Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып
Комментарий/решение:
Вот решение для положительных действительных a,b,c . В решении взял знаминателя последнего слогаемого числа A взял как 24a+2b+21 , потому что не симметрично.
По неравенству Коши-Буняковсково
47(24a2+2b2+21c2)=(12+12+...+12)(a2+a2+...+a2+b2+b2+c2+c2+...+c2)≥(a+a+...+a+b+b+c+c+...+c)2=(24a+2b+21c)2=(24a+2b+21c)(24a+2b+21c)=(24a+2b+21c)(24a2+2b2+21c2).
Отсюда получаем
24a+2b+21c≤47
По неравенству AM≥GM
A=√ab(24+2b+21c)+√bc(24a+2+21c)+√ca(24a+2b+21)≥3⋅ 3√√ab(24+2b+21c)⋅√bc(24a+2+21c)⋅√ca(24a+2b+21)=3⋅6√abcabc(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)=36√(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21).
Снова по неравенству AM≥GM
(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)≤((24+2b+21c)+(24a+2+21c)+(24a+2b+21)3)3=(2(24a+2b+21c)+473)3≤(2⋅47+473)3=473
Значит,
A≥36√(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)≥36√473=3√47=3√4747.
Равенство достигается, когда a=b=c=1 . Значит, 3√47 - минимальное значение исходного выражения.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.