Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс


Задача №1.  Изначально все клетки доски $2021 \times 2021$ белые. Арман и Бахытжан играют в такую игру. Сначала Арман закрашивает $n$ квадратиков в красный цвет. Затем Бахытжан выбирает 1011 строк и 1011 столбцов и перекрашивает все ячейки в выбранных строках и столбцах в чёрный цвет. Арман выигрывает в том случае, если осталась хотя бы одна красная клетка, в противном случае выигрывает Бахытжан. При каком наименьшем $n$ Арман гарантирует себе победу, независимо от того, как будет действовать Бахытжан?
комментарий/решение
Задача №2.  Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB=AC+\frac{BC}{2}.$ На стороне $BC$ отметили точки $P,$ $Q$ и $R$ так, что $BP = PQ = QR = RC.$ Прямые $AP$ и $AR$ пересекают серединный перпендикуляр к $PQ$ соответственно в точках $X$ и $Y$. На отрезке $XY,$ как на диаметре, построена окружность $\Omega$. Докажите, что $\Omega$ проходит через точки $B$ и $R.$
комментарий/решение
Задача №3.  Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению $125 \cdot 2^x-3^y=271.$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $a,$ $b,$ $c$ — положительные целые числа такие, что $24a^2 + 2b^2 + 21c^2 = 24a + 2b + 21c.$ Найдите наименьшее значение выражения \[A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 21c)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 21c)}}} + \sqrt {\frac{c}{{a(24 + 2b + 21)}}} .\]
комментарий/решение(5)
Задача №5.  На плоскости нарисован четырёхугольник $ABCD.$ Докажите, что на этой плоскости найдётся такая точка $X,$ что квадрат расстояния от точки $X,$ до самой удалённой от неё вершины четырёхугольника $ABCD,$ не превосходит \[\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}.\]
комментарий/решение(1)
Задача №6.  При каких натуральных $n$ число $(n-1)!$ делится на $2021n^2?$
комментарий/решение(3)