Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы. $AM$ және $BC$ кесінділерінде сәйкесінше $P$ және $R$ нүктелері $AP = BR$ болатындай белгіленген. $\angle ARM + \angle PBM + \angle BMR$ қосындысын есептеңіз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $60^\circ.$
Решение. Пусть отрезки $AR$ и $BM$ пересекаются в точке $Q.$ Так как треугольники $ABP$ и $BAR$ равны по первому признаку, $\angle BAR = \angle ABP = \alpha.$ Тогда $\angle ARM+\angle BMR = 180^\circ-\angle AQB = 2\alpha+\angle PBM$ (здесь первое равенство — теорема о внешнем угле для треугольника $MQR,$ а второе — теорема о сумме углов для треугольника $AQB$), откуда $\angle ARM+\angle BMR+\angle PBM = 2(\alpha+\angle PBM) = 2\angle ABM = 60^\circ.$