Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Тақтаға $n$ бүтін сандар жазылған. Олардың кез-келген екеуің айырмашылығы кемінде 3-ке тең. Осы сандардың ең үлкен екеуінің квадраттарының қосындысы 500-ден кіші. Осы сандардың ең кіші екеуінің квадраттарының қосындысы да 500-ден кіші. $n$-нің қандай ең үлкен мәнінде осы шарттар орындала алады? ( Р. Женодаров, С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. При $n = 12.$
Решение. Оценка. Рассмотрим второе по величине число. Если оно не меньше 15, то самое большое число не меньше 18, и сумма квадратов двух наибольших чисел не меньше, чем $15^2+18^2 = 549 > 500,$ что невозможно. Поэтому второе по величине число не превосходит 14. Аналогично второе с конца число не меньше, чем $-14.$ Таким образом, все искомые числа, кроме, может быть, наибольшего и наименьшего, не больше 14 и не меньше $-14.$ Так как $14-(-14) = 28 < 3\cdot 10,$ написанные на доске числа разбивают отрезок числовой оси между $-14$ и 14 не более чем на 9 частей, то есть всего между $-14$ и $14$ не более 8 наших чисел. Так как это все наши числа, кроме, может быть, двух наибольших и двух наименьших, всего на доске написано не более 12 чисел. Пример. $-17,$ $-14,$ $-11,$ $-8,$ $-5,$ $-2,$ 2, 5, 8, 11, 14, 17.